Produtos Notáveis

Na matemática é muito comum encontrarmos frações com expressões algébricas tanto no numerador quanto no denominador. Muitas vezes não fica claro para nós a melhor forma de reduzir aquela razão. Os Produtos Notáveis são ferramentas que ajudam nesse sentido.

Eles servem para transformar uma expressão de vários termos em um produto, ou potência, como é um caso do trinômio quadrado.

Trinômio Quadrado Perfeito ou quadrado da soma

Quando temos uma soma elevada ao quadrado, pode parecer intuitivo escrever:

(a+b)²=a²+b², o que está ERRADO

A forma correta é:

(a+b)²=a²+2ab+b²

O mesmo vale para a diferença:

(a-b)²=a²-2ab+b²

Vejamos alguns exemplos:

(3+9)²=3²+2*3*9+9²=144=12²
(x+2)²=(x+2)*(x+2)=x²+2x+2x+2²=x²+4x+4

Exemplos

Fatores as seguintes expressões:
1. x²+2x+1
2. 4x²+36x+81
3. 5x²+30y+45y²
Simplifique a seguinte fração:

x²-2x+4x-2

Cubo da soma e da diferença

Similar ao quadrado da soma, é preciso ter cuidado ao transformar o cubo:

(a+b)³a³+b³

O correto seria, na realidade, a seguinte expressão:

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Para a subtração, no entanto, esteja atento aos sinais:

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

Note que o sinal de menos vai aparecer antes dos termos de ordem par, ou seja, 2º e do 4º termo.

Vejamos alguns exemplos:

(2+3)³=2³+3*2²*3+3*2*3²+3³=125=5³
(x-1)³=(x-1)*(x-1)*(x-1)=

=x³-x²-x²-x²-(-x)-(-x)-(-x)-(-(-1))=

=x³-3x²+3x-1

Exemplos

Fatores as seguintes expressões:
1. x³+6x²+12x+8
2. 27x²+81x²+81x+27
3. 2x³+12yx²+24y²x+16y³
Simplifique a fração e, em seguida, encontre o valor do resultado caso x=3:

x³-9x²+27x-27x²-6x+9

Diferença de quadrados

Dizemos que a diferença entre dois quadrados é igual ao produto da soma pela diferença das bases:

a²-b²=(a+b)*(a-b)

Vejamos alguns exemplos: